第25章 第三种解法

  [已知方程x=√（x-1/x）+√（1-1/x），请用三种不同思路的方法，求出x的值。]

  目光盯著这道题，罗伦一时陷入思索。

  这道题本身的求值並不难，虽无法一眼得到x的值，但也基本是一眼就知道如何去推导便能获得最终的值。

  然而，能求出这道题的值还不行，需得进一步给出三种不同思路的解法。

  这就稍微有点上难度了。

  否则，以提丽丝的数学水平，断然不会被一道解方程题逼到那种局面。

  即便是罗伦，也感觉到了一丝的棘手。

  但也仅只是一丝罢了。

  思索了大约一分钟，罗伦的脑海中便大致勾勒出这道方程题的三种解法轮廓，隨后他毫不迟疑，迅速调集精神能量开始了作答。

  [解法一：隔离根號並平方，进行二次平方操作后，可消去剩余根號……易得到四次方程，x^4?2x^3?x^2+2x+1=0，通过分组分解法，易发现四次方程可分解为（x^2?x?1）^2=0，结合定义域……解得x=（1+√5）/2。]

  这种解法是典型的逐次平方法，可用来处理嵌套根號的方程，算是一类標准化的求解流程。

  虽然其局限性也很明显，比如平方次数越多，方程次数越高，而高次方程的因式分解非常麻烦。但放到这一道题目中，却是恰如其分，刚刚好。

  第一种解法写完，罗伦稍事停顿，又开始书写起了下一种解法。

  [解法二：利用换元法，令√（x-1/x）=a，√（1-1/x）=b，於是原题可写成a+b=x，简单计算后得a?b=1?1/x，相加得2a=x+1?1/x，换算后得2√（x-1/x）=x+1?1/x，经过简单调整，易知这是一个完全平方式，因此，可得方程x^2?x?1=0，结合定义域……解得x=（1+√5）/2。]

  第二种解法，相较於第一种，自然就是常规且具有套路化的换元法了。